Barić je izdanak Hajdukove omladinske škole. Nakon završetka juniorskog staža 2009. godine je potpisao i profesionalni ugovor sa splitskim "Bilim“, no, na Poljudu se nije naigrao i sezone koje su uslijedile proveo je uglavnom na posudbi u klubovima 2. i 3. HNL, Dugopolju, Mosoru, Primorcu, Valu i Solinu, da bi početkom 2015. prešao u slovenskog prvoligaša Zavrč, a pola godine kasnije u bh. premierligaša Slaviju. Za Slaviju je u protekloj sezoni odigrao 28 utakmica i postigao dva gola.
"Prvi dojmovi su odlični. Nadam se da ću ispuniti očekivanja. Želim što više napredovati i pomoći ekipi u Evropskoj ligi i prvenstvu. O Širokom Brijegu imam najbolje mišljenje, zato sam i došao tu. Široki Brijeg ima odlične uvjete za rad i jedva čekam utakmice“, kazao je Barić nakon potpisivanja dvogodišnjeg ugovora.
Sportski direktor Dalibor Šilić vjeruje da će se Barić nametnuti:
"Ajayi se s posudbe vratio u Rijeku, pa smo angažirali Barića na poziciji desnog krila. Sigurni smo da će se uklopiti i da će opravdati našaočekivanja“, rekao je Šilić.