Josipović je rođen 28. avgusta 1957. u Zagrebu, gdje je završio osnovnu i srednju školu, Pravni fakultet (1980.) te položio pravosudni ispit.
Magistrirao je 1985. na postdiplomskom studiju kaznenopravnih nauka, a doktorirao 1994. s temom "Pravo o uhićenju i pritvoru u kaznenom procesnom pravu". Na zagrebačkom Pravnom fakultetu predaje Kazneno procesno pravo, Međunarodno kazneno pravo i Prekršajno pravo.
Kao pravnik, zastupao je Hrvatsku pred Međunarodnim sudom pravde i Međunarodnim kaznenim sudom u Haagu, sarađivao je na nekoliko međunarodnih projekata, a kao ekspert Vijeća Europe sudjelovao je u vrednovanju zatvora u Ukrajini, Mongoliji i Azerbejdžanu.
Nakon srednje muzičke škole Josipović je muzičko obrazovanje nastavio na studiju kompozicije na zagrebačkoj Muzičkoj akademiji.
Komponovao je za različite instrumente, komorne sastave i simfonijski orkestar, a za skladbe je dobio više domaćih i međunarodnih nagrada, uključivo i Nagradu Europske radiounije te diskografsku nagradu "Porin" 1999. i 2000.
Član je više domaćih i međunarodnih pravničkih i umjetničkih udruga, govori engleski jezik, a služi se i njemačkim.
Josipović je od 1980. bio član Saveza komunista Hrvatske te sudjelovao u njegovoj transformaciji tokom demokratskih promjena kad je pristupio Socijaldemokratskoj partiji Hrvatske (SDP), a autor je prvog statuta te stranke.
Političko djelovanje i stranku napušta 1994. te se posvećuje struci - pravu i umjetnosti.
No nakon devet godina, 2003., vraća se u politiku na poziv tadašnjeg čelnika SDP-a Ivice Račana te je na parlamentarnim izborima iste godine, kao nestranački kandidat na SDP-ovoj listi, izabran za zastupnika u Hrvatskom saboru, gdje postaje potpredsjednik Kluba SDP-a.
Nakon lokalnih izbora 2005. zastupnik je i u zagrebačkoj Gradskoj skupštini, a na državnim izborima 2007. ponovno je izabran za saborskog zastupnika. U Saboru je sudjelovao u radu odbora za zakonodavstvo, pravosuđe te Ustav, poslovnik i politički sistem, a bio je i član Povjerenstva za odlučivanje o sukobu interesa.
Službeno se u članstvo SDP-a vraća u ljeto 2008., a prošle je godine na unutarstranačkom odlučivanju za SDP-ova predsjedničkog kandidata pobijedio Ljubu Jurčića.
U predsjedničkoj je kampanji kao temeljni koncept zagovarao "Novu pravednost" kao društveno-pravni okvir za stvaranje boljeg i naprednijeg hrvatskog društva, najavivši žestoku borbu protiv korupcije i organiziranog kriminala.
U braku je sa suprugom Tatjanom, također univerzitetskom profesoricom prava, s kojom ima 18-godišnju kćerku Lanu.
